The existence of eigenvalues of Schrödinger operator on three dimensional lattice

Abstract

We consider a three-particle discrete Schrödinger operator $H_{\mu,\gamma}(\mathbf{K}),$ $\mathbf{K}\in\mathbb{T}^3$, associated to a system of three particles (two fermions and one another particle) interacting through zero range pairwise potential $\mu>0$ on the three-dimensional lattice $\mathbb{Z}^3.$ It is proved that the operator $H_{\mu,\gamma}(\mathbf {K}),$ $\|\mathbf{K}\|<\delta,$ for $0<\gamma<\gamma_0$ ($\gamma_0\approx 4,7655$) has no eigenvalues and for $\gamma>\gamma_0$ has exactly three eigenvalues lying below the essential spectrum for sufficiently large $\mu$ and small $\delta$.

Ми розглядаємо тричастинковий дискретний оператор Шр\"{о}дінгера $H_{\mu,\gamma}(\mathbf{K}),$ $\mathbf{K}\in\mathbb{T}^3$, який асоціюється з системою з трьох частинок (двох ферміонів і одна інша частинка), які попарно взаємодіють через потенціал нульового радіусу $\mu>0$ на тривимірній решітці $\mathbb{Z}^3.$ Доведено, що оператор $H_{\mu,\gamma}(\mathbf {K}),$ $\|\mathbf{K}\|<\delta,$ для $0<\gamma<\gamma_0$ ($\gamma_0\approx 4,7655$) не має власних значень, а для $\gamma>\gamma_0$ має рівно три власні значення, що лежать нижче суттєвого спектру для достатньо великих $\mu$ і малих $\delta$.