On some supercritical problems involving the fractional Laplacian operator

Abstract

In this paper, a fractional Laplacian equation is investigated, which involve critical or supercritical Sobolev exponent as follows: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcl} (-\Delta)^{s} u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{r-2}u+\mu |u|^{q-2}u, &\text{in } &\Omega,\\[1.5mm] u=0 &\text{on } &\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation*} where $(-\Delta)^{s}$ is the fractional Laplacian operator with $0< s < 1$, $1< p< 2< r< 2^*_{s}\leq q$, $2^*_{s}:=\frac{2N}{N-2s}$ is the fractional critical Sobolev exponent, $\lambda$, $\mu\geq 0$ are parameters and $\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$$(N>2s)$ is a bounded domain with smooth boundary $\partial\Omega$. By using variational methods, truncation and Moser iteration techniques, we show that the problem has at least two nontrivial solutions.

У цій роботі досліджується наступне дробове рівняння Лапласа, яке включають критичний або надкритичний показник Соболєва: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcl} (-\Delta)^{s} u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{r-2}u+\mu |u|^{q-2}u, &\text{in } &\Omega,\\[1.5mm] u=0 &\text{on } &\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation*} де $(-\Delta)^{s}$ — дробовий оператор Лапласа з $0< s< 1$, $1< p< 2< r< 2^*_{s}\leq q$, $2^*_{s}:=\frac{2N}{N-2s}$ це дробовий критичний показник Соболєва, $\lambda$, $\mu\geq 0$ є параметри та $\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$$(N>2s)$ --- обмежена область з гладкою границею $\partial\Omega$. За допомогою варіаційних методів, скорочення та ітераційних методів Мозера показано, що задача має принаймні два нетривіальних розв'яків.