Spectral inclusions of exponentially bounded $C$-semigroups

Abstract

In 1989 Ki Sik Ha [6] proved that if $A$ is a generator of an exponentially bounded $C$-semigroup $(S_t)_{t\geq 0}$ in a Banach space and $T_t=C^{-1}S_t$ for all $t\geq0$, then the spectral mapping theorem, $e^{t\sigma(A)}\subset\sigma(T_t)$ and $e^{t\sigma_p(A)}\subset\sigma_p(T_t)\subset e^{t\sigma_p(A)}\cup\{0\}$ for all $t\geq 0$, holds. In the present paper, we extend the results of [6] to Saphar, essentially Saphar, Kato, and essentially Kato spectrum.

У 1989 році Кі Сік Ха [6] довів, що якщо $A$ є генератором експоненціально обмеженої $C$-напівгрупи $(S_t)_{t\geq 0}$ у банаховому просторі та $T_t=C^{-1}S_t$ для всіх $t\geq0$, то виконується теорема про спектральне відображення: $e^{t\sigma(A)}\subset\sigma(T_t)$ і $e^{t\sigma_p(A)}\subset\sigma_p(T_t)\subset e^{t\sigma_p(A)}\cup\{0\}$ для всіх $t\geq 0$. Ми поширюємо результати [6] на спектр Сапфара, суттєвий спектр Сапфара, спектр Като і суттєвий спектра Като.