Projectionless real $C^*$-algebras

Abstract

In this paper the projectionless real $C^*$-algebras are investigated. Following construction of [4] a real $C^*$-algebra is constructed, which is separable, simple, nuclear, nonunital, and contains no nonzero projections. It is proved that a real $C^*$-algebra is projectionless if and only if the enveloping $C^*$-algebra is projectionless. An example of a projectionless real Banach ${}^*$-algebra with the $C^*$-property is constructed, the complexification of which contains a non-trivial projection.

В роботі досліджено безпроекційні дійсні $C^*$-алгебри. Використовуючи результати [4], побудовано дійсну $C^*$-алгебру, яка є сепарабельною, простою, ядерною, неунітальною, і яка не містить ненульових проекторів. Доведено, що дійсна $C^*$-алгебра є безпроекційною тоді і тільки тоді, коли огортуюча $С^*$-алгебра є безпроекційною. Побудовано приклад безпроекційної дійсної банахової ${}^*$-алгебру із властивістю $C^*$, комплексифікіція якої містить нетривіальний проектор.