On the number of nodal domains on a rectangle with a slit

Abstract

In spectral geometry, one is interested in estimating the number of nodal domains of eigenfunctions of the Laplacian on planar domains. Well-known classical results due to Courant and Pleijel establish upper bounds, implying that the $n$-th eigenfunction has at most $n$ nodal domains and that indeed only a finite number of eigenfunctions attain this maximal value. Surprisingly, however, a seemingly simpler question remains largely open. Namely, does there always exist a subsequence of eigenfunctions with an unbounded number of nodal domains? It is the aim of this note to investigate this question in the context of a rectangular domain with a slit.

В спектральній геометрії цікавим є оцінка кількості вузловіих областей власних функцій лапласіана в плоских областях. Відомі класичні результати Куранта і Плейеля встановлюють верхні межі, з яких випливає, що $n$-та власна функція має не більше ніж $n$ вузлових областей, і лише скінченна кількість власних функцій досягають цього максимального значення. Однак, більш просте питання ще залишається відкритим. А саме, чи завжди існує підпослідовність власних функцій з необмеженою кількість вузлових областей? Метою цієї роботи є дослідження цього питання в контексті прямокутної області з прорізом.