A Remark on the Range Closures of an Elementary Operator

Abstract

Let $L(H)$ denote the algebra of operators on a complex infinite dimensional Hilbert space $H$ into itself. For $A,B\in L(H)$, the elementary operator $\tau_{A,B}\in L(L(H))$ is defined by $\tau_{A,B}(X)=AXB-X$. An operator $A\in L(H)$ is said to be generalized quasi-adjoint if $ATA=T$ implies $A^{\ast}TA^{\ast}=T$ for every $T\in C_{1}(H)$ (trace class operators). In this paper, we give an extension of generalized quasi-adjoint operators. We consider the class of pairs of operators $A, B\in L(H)$ such that $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}=\overline{R(\tau_{A^{\ast},B^{\ast}})}^{W^{\ast}}$, where $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}$ denotes the ultra-weak closure of the range $R(\tau_{A,B})$ of $\tau_{A,B}$. Such pairs of operators are called generalized quasi-adjoint. We establish some basic properties of those pairs of operators.

Нехай $L(H)$ -- алгебра операторів у комплексному нескінченновимірному гільбертовому просторі $H$. Для $A,B\in L(H)$, елементарний оператор $\tau_{A,B}\in L(L(H))$ визначається як $\tau_{A,B}(X)=AXB-X$. Кажуть, що оператор $A\in L(H)$ є узагальненим квазіспряженим, якщо з $ATA=T$ випливає, що $A^{\ast}TA^{\ast}=T$ для кожного $T\in C_{1}(H)$ (клас ядерних операторів). У статті дається розширення класу узагальнених квазіспряжених операторів. Розглядається клас пар опера\-торів $A, B\in L(H)$, таких, що $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}=\overline{R(\tau_{A^{\ast},B^{\ast}})}^{W^{\ast}}$, де через $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}$ позначене ультраслабке замикання області значень $R(\tau_{A,B})$ of $\tau_{A,B}$. Такі пари операторів звуться узагальненими квазіспряженими. Встановлені основні власти\-вості таких пар операторів.