Uniform and mean ergodic theorems for $C_0$-semigroups

Abstract

Let $\{T(t)\}_{t\geq0}$ be a $C_{0}$-semigroup of bounded linear operators on a complex Banach space $\mathcal{X}$. In this paper, we study the uniform ergodicity for a $C_{0}$-semigroup $\{T(t)\}_{t\geq0}$ via the discrete ergodicity of a bounded linear operator $T{(t_0)}$, for some $t_0>0$. We show that for a $C_{0}$-semigroup $\{T(t)\}_{t\geq0}$ satisfying $\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\|T(t)\|}{t}=0$, the Cesàro averages $\frac{1}{t}\int_{0}^{t} T(s) ds$ of $\{T(t)\}_{t\geq0}$ converges uniformly as $t\to \infty$ if and only if the Cesàro means $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^k(t_0)$ of an operator $T({t_0})$, for $t_0>0$, converges uniformly as $n\to \infty$. Furthermore, we investigate the strong convergence of the Cesàro averages of $\{T(t)\}_{t\geq0}$, so that we give some sufficient conditions implying that $\{T(t)\}_{t\geq0}$ is mean ergodic.

Нехай $\{T(t)\}_{t\geq0}$ - $C_{0}$-півгрупа обмежених лінійних операторів у комплексному банаховому просторі $\mathcal{X}$. Вивчається її рівномірна ергодичність шляхом зведення до дискретної ергодичності обмеженого лінійного оператора $T{(t_0)}$, для деякого $t_0>0$. Показано, що для $C_{0}$-півгрупи $\{T(t)\}_{t\geq0}$, такої, що $\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\|T(t)\|}{t}=0$, середні Чезаро $\frac{1}{t}\int_{0}^{t} T(s) ds$ рівномірно збігаються при $t\to \infty$ тоді й тільки тоді, коли середні Чезаро $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^k(t_0)$ оператора $T({t_0})$, де $t_0>0$, рівномірно збігаються при $n\to \infty$. Крім того, досліджується сильна збіжність середніх Чезаро від $\{T(t)\}_{t\geq0}$; даються достатні умови, за яких $\{T(t)\}_{t\geq0}$ ергодична в середньому.