$n$-power-Posinormal Operators

Abstract

${\mathcal B}({\mathcal H})$ will denote the algebra of all bounded linear operators on a complex Hilbert space ${\mathcal H}$. In [6], the authors proved that natural power of a posinormal operator is not in general posinormal. Precisely, they constructed an example of a posinormal operator with square not being posinormal. Given a positive integer $n$, the aim of this article is to study a class of operators in ${\mathcal B}({\mathcal H})$ called $n$-power-posinormal. This class is invariant under natural power and contains any natural power of any posinormal operator and all $n$-power normal operators.

Позначимо через ${\mathcal B}({\mathcal H})$ алгебру всіх обмежених лінійних операторів у комплекс\-ному гільбертовім просторі ${\mathcal H}$. У [6] доведено, що цілий степінь позінормального оператора не обов’язково є позінормальним. Зокрема, був наведений приклад позінормального оператора, квадрат якого не є позінормальним. Метою цієї статті є дослідження класу $n$-степенево позінормальних операторів з ${\mathcal B}({\mathcal H})$, інваріантного відносно натуральних степенів, який містить натуральні степені позінормальних операторів та n-степенево нормальні оператори.